已知二次函数y=a（x+p）2+4的图象是由函数y＝12x2+2x+q的图象向左平移一个单位得到．反比例函数y＝mx与二次函数y=a（x+p）2+4的图象交于点A（1，n）．（1）求a，p，q，m，n的值；（2）要使反比

Question

已知二次函数y=a（x+p）²+4的图象是由函数y＝(1)/(2)x2+2x+q的图象向左平移一个单位得到．反比例函数y＝(m)/(x)与二次函数y=a（x+p）²+4的图象交于点A（1，n）．
（1）求a，p，q，m，n的值；
（2）要使反比例函数和二次函数y=a（x+p）²+4在直线x=t的一侧都是y随着x的增大而减小，求t的最大值；
（3）记二次函数y=a（x+p）²+4图象的顶点为B，以AB为边构造矩形ABCD，边CD与函数y＝(m)/(x)相交，且直线AB与CD的距离为√(5)，求出点D，C的坐标．

Answer 1

（1）y＝(1)/(2)x2+2x+q＝(1)/(2)(x2+4x)+q＝(1)/(2)(x+2)2+q−2，顶点坐标（-2，q-2）
（或用顶点坐标公式）
∴a＝(1)/(2)，p=3，q=6，
把x=1，y=n代入y＝(1)/(2)(x+3)2+4得n=12；
把x=1，y=12代入y＝(m)/(x)得m=12；
（2）∵反比例函数y＝(12)/(x)在图象所在的每一象限内，y随着x的增大而减小
而二次函数y＝(1)/(2)(x+3)2+4的对称轴为：直线x=-3
要使二次函数y＝(1)/(2)(x+3)2+4满足上述条件，x≤-3
∴t的最大值为-3；
（3）如图，过点A作直线l∥x轴，作DF⊥l于F，BE⊥l于E．
∵点B的坐标为（-3，4），A（1，12）
∴AE=4，BE=8
∵BE⊥l，
∴AB＝√(AE2+BE2)＝4√(5)；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAB+∠FAD=90°
∵BE⊥l于E，
∴∠EAB+∠EBA=90°
∴∠FAD=∠EBA
∴Rt△EBA∽Rt△FAD
∴(AB)/(AE)＝(AD)/(FD)
又∵AD=√(5)，
∴FD=1
同理：AF=2 
∴点D的坐标为（3，11）
同理可求点C（-1，3）．