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(2013•镇江一模)已知a>0,函数f(x)=ax3-bx(x∈R)图象上相异两点A,B处的切线分别为l1,l2,且l1∥l2.(1)判断函数f(x)的奇偶性;并判断A,B是否关于原点对称;(2)若直线l1,l2都
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(2013•镇江一模)已知a>0,函数f(x)=ax3-bx(x∈R)图象上相异两点A,B处的切线分别为l1,l2,且l1∥l2.
(1)判断函数f(x)的奇偶性;并判断A,B是否关于原点对称;
(2)若直线l1,l2都与AB垂直,求实数b的取值范围.
(1)判断函数f(x)的奇偶性;并判断A,B是否关于原点对称;
(2)若直线l1,l2都与AB垂直,求实数b的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵f(-x)=a(-x)3-b(-x)=-(ax3-bx)=-f(x),…(2分)
∴f(x)为奇函数.…(3分)
设A(x1,y1),B(x2,y2)且x1≠x2,又f'(x)=3ax2-b,…(5分)
∵f(x)在两个相异点A,B处的切线分别为l1,l2,且l1∥l2,
∴k1=f′(x1)=3ax12−b=k2=f′(x2)=3ax22−b(a>0),
∴x12=x22,又x1≠x2,∴x1=-x2,…(6分)
又∵f(x)为奇函数,
∴点A,B关于原点对称.…(7分)
(2)由(1)知A(x1,y1),B(-x1,-y1),
∴kAB=
=ax12−b,…(8分)
又f(x)在A处的切线的斜率k=f′(x1)=3ax12−b,
∵直线l1,l2都与AB垂直,
∴kAB•k=−1,(ax12−b)•(3ax12−b)=−1,…(9分)
令t=ax12≥0,即方程3t2-4bt+b2+1=0有非负实根,…(10分)
∴△≥0⇒b2≥3,又t1t2=
>0,
∴
>0⇒b>0.
综上b≥
.…(14分)
∴f(x)为奇函数.…(3分)
设A(x1,y1),B(x2,y2)且x1≠x2,又f'(x)=3ax2-b,…(5分)
∵f(x)在两个相异点A,B处的切线分别为l1,l2,且l1∥l2,
∴k1=f′(x1)=3ax12−b=k2=f′(x2)=3ax22−b(a>0),
∴x12=x22,又x1≠x2,∴x1=-x2,…(6分)
又∵f(x)为奇函数,
∴点A,B关于原点对称.…(7分)
(2)由(1)知A(x1,y1),B(-x1,-y1),
∴kAB=
| y1 |
| x1 |
又f(x)在A处的切线的斜率k=f′(x1)=3ax12−b,
∵直线l1,l2都与AB垂直,
∴kAB•k=−1,(ax12−b)•(3ax12−b)=−1,…(9分)
令t=ax12≥0,即方程3t2-4bt+b2+1=0有非负实根,…(10分)
∴△≥0⇒b2≥3,又t1t2=
| b2+1 |
| 3 |
∴
| 4b |
| 3 |
综上b≥
| 3 |
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