如图,已知抛物线y=x^2+bx+c经过A（-1,0）,B（0,-2）两点,顶点为D.（1）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后,点B落到点C的位置,将抛物线沿y轴平移后经过点C,求平移后所得图象的函数解析式；（2）①设(1)

Question

如图,已知抛物线y=x^2+bx+c经过A（-1,0）,B（0,-2）两点,顶点为D.
（1）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后,点B落到点C的位置,将抛物线沿y轴平移后经过点C,求平移后所得图象的函数解析式；
（2）①设(1)中平移后,所得抛物线与y轴的交点为B1.顶点为D1,试求线段b1 d1与平移前后两条抛物线所围区域的面积
②在平移后的抛物线上是否存在点n,满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍,求N的坐标.
B坐标中是-1和-2,负的

Answer 1

(1) 过B(0,-2),c = -2
过A(-1,0):0 = 1 - b - 2,b = -1
y = x² - x - 2 (i)
△OAB绕点A顺时针旋转90°后,O变为O‘,AO = O'A,O'(-1,-1)
CO'与x轴平行,纵坐标均为-1,CO'=BO = 2,C的横坐标=A的横坐标-2 = -1 - 2 = -3
C(-3,-1)
(i)向下平移d (d > 0),变为y + d = x² - x - 2
过C(-3,-1):-1 + d = 9 + 3 - 2
d = 11
y = x² - x - 13
(2)
① x = 0,y = -13,B1(0,-13)
y = x² - x - 2 = (x - 1/2)² - 9/4,D(1/2,-9/4)
D1(1/2,-53/4) (-53/4 = -9/4 - 11)
这里题目似乎不清楚,好像是原抛物线在BD以下的部分与新抛物线在B1D1的部分以及BB1和DD1所围的图形.
用割补法可知,此区域的面积等于以B,B1,D1,D为顶点的平行四边形的面积S
S = B1B*B1B上的高
= (-2 + 13)*D的横坐标
= 11*1/2 = 11/2
②
容易看出N在过DD1的直线(即对称轴)的右方,令其横坐标为n (n >1/2）.
BB1上的高为n,△NBB1的面积s = (1/2)B1B*n = 11n/2
DD1上的高为n - 1/2,△NDD1的面积s' = (1/2)D1D*(n - 1/2) = 11(n - 1/2)/2
s = 2s'
n = 2(n - 1/2)
n = 1
N(1,-13)