定义：若函数y1与y2同时满足下列两个条件：①两个函数的自变量x，都满足a≤x≤b；②在自变量范围内对于任意的x1都存在x2，使得x1所对应的函数值y1与x2所对应的函数值y2相等．我们就称y1

Question

定义：若函数y₁与y₂同时满足下列两个条件：
①两个函数的自变量x，都满足a≤x≤b；
②在自变量范围内对于任意的x₁都存在x₂，使得x₁所对应的函数值y₁与x₂所对应的函数值y₂相等． 我们就称y₁与y₂这两个函数为“兄弟函数”．
设函数y₁=x²-2x-3，y₂=kx-1
（1）当k=-1时，求出所有使得y₁=y₂成立的x值；
（2）当1≤x≤3时判断函数y₁=(3)/(x)与y₂=-x+5是不是“兄弟函数”，并说明理由；
（3）已知：当-1≤x≤2时函数y₁=x²-2x-3与y₂=kx-1是“兄弟函数”，试求实数k的取值范围？

Answer 1

（1）当k=-1时，y₂=-x-1，
根据题意得：x²-2x-3=-x-1，
解得：x=2或x=-1；
∴x的 值为2或-1．

（2）不是
若(3)/(x)=-x+5，
则x²-5x+3=0，
解得：x=(5±√(13))/(2)，
∵3<√(13)<4
∴4<(5+√(13))/(2)<(9)/(2)，(1)/(2)<(5-√(13))/(2)<1，
两根均不在1≤x≤3，
∴函数y₁=(3)/(x)与y₂=-x+5不是“兄弟函数”．

（3）∵函数y₁=x²-2x-3与y₂=kx-1是“兄弟函数”，
∴x²-2x-3=kx-1，
整理得：x²-（2+k）x-2=0，
解得：x=(2+k±√((2+k)2+8))/(2)，
∵-1≤x≤2时函数y₁=x²-2x-3与y₂=kx-1是“兄弟函数”，
∴-1≤(2+k+√((2+k)2+)8)/(2)≤2，
解得：k≤-3，
或1≤(2+k-√((2+k)2+)8)/(2)≤2，
解得：k≥-1．
∴实数k的取值范围：k≤-3或k≥-1．