（2014•广西）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．

Question

（2014•广西）函数f（x）=ax³+3x²+3x（a≠0）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）=ax³+3x²+3x，∴f′（x）=3ax²+6x+3，
令f′（x）=0，即3ax²+6x+3=0，则△=36（1-a）
①若a＞1时，则△＜0，f′（x）＞0，∴f（x）在R上是增函数；
②因为a≠0，∴当a≤1，△＞0，f′（x）=0方程有两个根，x₁=(−1+√(1−a))/(a)，x₂=(−1−√(1−a))/(a)，
当0＜a＜1时，则当x∈（-∞，x₂）或（x₁，+∞）时，f′（x）＞0，故函数在（-∞，x₂）或（x₁，+∞）是增函数；在（x₂，x₁）是减函数；
当a＜0时，则当x∈（-∞，x₁）或（x₂，+∞），f′（x）＜0，故函数在（-∞，x₁）或（x₂，+∞）是减函数；在（x₁，x₂）是增函数；
（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f′（x）=3ax²+6x+3＞0 故a＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，
当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，
当且仅当：f′（1）≥0且f′（2）≥0，解得-(5)/(4)≤a＜0，
a的取值范围[−(5)/(4)，0）∪（0，+∞）．