已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）=|t（x+4x）-5|，其中常函数t＞0（1）若函数f（x）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，试求t的取值范围；（2）当t=1时，方程f（x）=m有四个不等

Question

已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）=|t（x+(4)/(x)）-5|，其中常函数t＞0
（1）若函数f（x）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，试求t的取值范围；
（2）当t=1时，方程f（x）=m有四个不等实根x₁，x₂，x₃，x₄ 
①证明：x₁•x₂•x₃•x₄=16；
②是否存在实数a，b，使得函数f（x）在区间[a，b]上单调，且f（x）的取值范围为[ma，mb]，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵x∈（0，+∞），
∴x+(4)/(x)≥2√(x•(4)/(x))＝4，当x=2时取最小值，且在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
要使函数f（x）=|t（x+(4)/(x)）-5|分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，
则g（x）=t（x+(4)/(x)）-5≥0，即g（x）_min=4t-5≥0，
∴t≥(5)/(4)；
（2）①证明：当t=1时，f（x）=|（x+(4)/(x)）-5|，其图象如图，
要使f（x）=m有4个根，则0＜m＜1，
令g（x）=m，则x²-（5+m）x+4=0，
∴x₁x₄=4，
令g（x）=-m，
则x²-（5-m）x+4=0，
∴x₂x₃=4．
∴x₁•x₂•x₃•x₄=16；
②令f（x）=0，解得：x=1或x=4．
当x∈（1，2）时，f（x）=5-（x+(4)/(x)），
∴f(a)＝5−(a+(4)/(a))，f(b)＝5−(b+(4)/(b))，
由(f(a))/(a)＝(f(b))/(b)＝m，得5b-ab-(4b)/(a)＝(4b2−4a2)/(ab)，即5ab+4a+4b=0，
∵a，b∈（1，2），
∴上式不成立，即实数a，b不存在；
当x∈（4，+∞）时，f（x）=x+(4)/(x)−5，
由(f(a))/(a)＝(f(b))/(b)＝m，得ab+(4b)/(a)−5b＝ab+(4a)/(b)−5a，
整理得：(5)/(4)＝(a+b)/(ab)，即(1)/(a)+(1)/(b)＝(5)/(4)．
∵a≥4，b≥4，
∴(1)/(a)+(1)/(b)≤(1)/(4)+(1)/(4)＝(1)/(2)，与(1)/(a)+(1)/(b)＝(5)/(4)矛盾，即实数a，b不存在；
当x∈（0，1）时，f（x）=x+(4)/(x)−5，
由f（a）=mb，f（b）=ma可得a+b=5，
∵a，b∈（0，1），矛盾，即实数a，b不存在；
当x∈（2，4）时，f（x）=5-（x+(4)/(x)），
由f（a）=mb，f（b）=ma可得a+b=5，
再由f（a）=mb，得m=(5a−a2−4)/(ab)，把b=5-a代入得，
m＝1−(4)/(5a−a2)，
∵2＜a＜4，
∴m∈(−∞，(9)/(25)]∪(2，+∞)．
综上，存在实数a，b∈（2，4），使得函数f（x）在区间[a，b]上单调，且f（x）的取值范围为[ma，mb]，
此时m的范围为(−∞，(9)/(25)]∪(2，+∞)．