如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．（1）求证：△MBA≌△NDC；（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．

Question

如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．
（1）求证：△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．

如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．
（1）求证：△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．
如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．
（1）求证：△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．
如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．
（1）求证：△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．
如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．
（1）求证：△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，
∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，
∴AM= (1)/(2) AD，CN= (1)/(2) BC，
∴AM=CN，
在△MAB和△NDC中，
∵

AB=CD

∠A=∠C=90°

AM=CN

，
∴△MBA≌△NDC（SAS）；

（2）四边形MPNQ是菱形．
理由如下：连接AP，MN，
则四边形ABNM是矩形，
∵AN和BM互相平分，
则A，P，N在同一条直线上，
易证：△ABN≌△BAM，
∴AN=BM，
∵△MAB≌△NDC，
∴BM=DN，
∵P、Q分别是BM、DN的中点，
∴PM=NQ，
∵

DM=BN

DQ=BP

∠MDQ=∠NBP

，
∴△MQD≌△NPB（SAS）．
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵M是AD中点，Q是DN中点，
∴MQ= (1)/(2) AN，
∴MQ= (1)/(2) BM，
∵MP= (1)/(2) BM，
∴MP=MQ，
∴平行四边形MQNP是菱形．

证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，
∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，
∴AM= (1)/(2) AD，CN= (1)/(2) BC，
∴AM=CN，
在△MAB和△NDC中，
∵

AB=CD

∠A=∠C=90°

AM=CN

，
∴△MBA≌△NDC（SAS）；

（2）四边形MPNQ是菱形．
理由如下：连接AP，MN，
则四边形ABNM是矩形，
∵AN和BM互相平分，
则A，P，N在同一条直线上，
易证：△ABN≌△BAM，
∴AN=BM，
∵△MAB≌△NDC，
∴BM=DN，
∵P、Q分别是BM、DN的中点，
∴PM=NQ，
∵

DM=BN

DQ=BP

∠MDQ=∠NBP

，
∴△MQD≌△NPB（SAS）．
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵M是AD中点，Q是DN中点，
∴MQ= (1)/(2) AN，
∴MQ= (1)/(2) BM，
∵MP= (1)/(2) BM，
∴MP=MQ，
∴平行四边形MQNP是菱形． 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，
∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，
∴AM= (1)/(2) AD，CN= (1)/(2) BC，
∴AM=CN，
在△MAB和△NDC中，
∵

AB=CD

∠A=∠C=90°

AM=CN

，
∴△MBA≌△NDC（SAS）；

（2）四边形MPNQ是菱形．
理由如下：连接AP，MN，
则四边形ABNM是矩形，
∵AN和BM互相平分，
则A，P，N在同一条直线上，
易证：△ABN≌△BAM，
∴AN=BM，
∵△MAB≌△NDC，
∴BM=DN，
∵P、Q分别是BM、DN的中点，
∴PM=NQ，
∵

DM=BN

DQ=BP

∠MDQ=∠NBP

，
∴△MQD≌△NPB（SAS）．
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵M是AD中点，Q是DN中点，
∴MQ= (1)/(2) AN，
∴MQ= (1)/(2) BM，
∵MP= (1)/(2) BM，
∴MP=MQ，
∴平行四边形MQNP是菱形． 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，
∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，
∴AM= (1)/(2) AD，CN= (1)/(2) BC，
∴AM=CN，
在△MAB和△NDC中，
∵

AB=CD

∠A=∠C=90°

AM=CN

，
∴△MBA≌△NDC（SAS）；

（2）四边形MPNQ是菱形．
理由如下：连接AP，MN，
则四边形ABNM是矩形，
∵AN和BM互相平分，
则A，P，N在同一条直线上，
易证：△ABN≌△BAM，
∴AN=BM，
∵△MAB≌△NDC，
∴BM=DN，
∵P、Q分别是BM、DN的中点，
∴PM=NQ，
∵

DM=BN

DQ=BP

∠MDQ=∠NBP

，
∴△MQD≌△NPB（SAS）．
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵M是AD中点，Q是DN中点，
∴MQ= (1)/(2) AN，
∴MQ= (1)/(2) BM，
∵MP= (1)/(2) BM，
∴MP=MQ，
∴平行四边形MQNP是菱形． 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，
∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，
∴AM= (1)/(2) AD，CN= (1)/(2) BC，
∴AM=CN，
在△MAB和△NDC中，
∵

AB=CD

∠A=∠C=90°

AM=CN

，
∴△MBA≌△NDC（SAS）；

（2）四边形MPNQ是菱形．
理由如下：连接AP，MN，
则四边形ABNM是矩形，
∵AN和BM互相平分，
则A，P，N在同一条直线上，
易证：△ABN≌△BAM，
∴AN=BM，
∵△MAB≌△NDC，
∴BM=DN，
∵P、Q分别是BM、DN的中点，
∴PM=NQ，
∵

DM=BN

DQ=BP

∠MDQ=∠NBP

，
∴△MQD≌△NPB（SAS）．
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵M是AD中点，Q是DN中点，
∴MQ= (1)/(2) AN，
∴MQ= (1)/(2) BM，
∵MP= (1)/(2) BM，
∴MP=MQ，
∴平行四边形MQNP是菱形． (1)/(2) 1 2 1 1 1 2 2 2 AD，CN= (1)/(2) BC，
∴AM=CN，
在△MAB和△NDC中，
∵

AB=CD

∠A=∠C=90°

AM=CN

，
∴△MBA≌△NDC（SAS）；

（2）四边形MPNQ是菱形．
理由如下：连接AP，MN，
则四边形ABNM是矩形，
∵AN和BM互相平分，
则A，P，N在同一条直线上，
易证：△ABN≌△BAM，
∴AN=BM，
∵△MAB≌△NDC，
∴BM=DN，
∵P、Q分别是BM、DN的中点，
∴PM=NQ，
∵

DM=BN

DQ=BP

∠MDQ=∠NBP

，
∴△MQD≌△NPB（SAS）．
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵M是AD中点，Q是DN中点，
∴MQ= (1)/(2) AN，
∴MQ= (1)/(2) BM，
∵MP= (1)/(2) BM，
∴MP=MQ，
∴平行四边形MQNP是菱形． (1)/(2) 1 2 1 1 1 2 2 2 BC，
∴AM=CN，
在△MAB和△NDC中，
∵

AB=CD

∠A=∠C=90°

AM=CN

，
∴△MBA≌△NDC（SAS）；

（2）四边形MPNQ是菱形．
理由如下：连接AP，MN，
则四边形ABNM是矩形，
∵AN和BM互相平分，
则A，P，N在同一条直线上，
易证：△ABN≌△BAM，
∴AN=BM，
∵△MAB≌△NDC，
∴BM=DN，
∵P、Q分别是BM、DN的中点，
∴PM=NQ，
∵

DM=BN

DQ=BP

∠MDQ=∠NBP

，
∴△MQD≌△NPB（SAS）．
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵M是AD中点，Q是DN中点，
∴MQ= (1)/(2) AN，
∴MQ= (1)/(2) BM，
∵MP= (1)/(2) BM，
∴MP=MQ，
∴平行四边形MQNP是菱形．

AB=CD

∠A=∠C=90°

AM=CN

AB=CD

∠A=∠C=90°

AM=CN

AB=CD

∠A=∠C=90°

AM=CN

AB=CD

∠A=∠C=90°

AM=CN

AB=CD

∠A=∠C=90°

AM=CN

AB=CD ∠A=∠C=90° AM=CN AB=CD AB=CD AB=CD ∠A=∠C=90° ∠A=∠C=90° ∠A=∠C=90° AM=CN AM=CN AM=CN ，
∴△MBA≌△NDC（SAS）；

（2）四边形MPNQ是菱形．
理由如下：连接AP，MN，
则四边形ABNM是矩形，
∵AN和BM互相平分，
则A，P，N在同一条直线上，
易证：△ABN≌△BAM，
∴AN=BM，
∵△MAB≌△NDC，
∴BM=DN，
∵P、Q分别是BM、DN的中点，
∴PM=NQ，
∵

DM=BN

DQ=BP

∠MDQ=∠NBP

，
∴△MQD≌△NPB（SAS）．
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵M是AD中点，Q是DN中点，
∴MQ= (1)/(2) AN，
∴MQ= (1)/(2) BM，
∵MP= (1)/(2) BM，
∴MP=MQ，
∴平行四边形MQNP是菱形．

DM=BN

DQ=BP

∠MDQ=∠NBP

DM=BN

DQ=BP

∠MDQ=∠NBP

DM=BN

DQ=BP

∠MDQ=∠NBP

DM=BN

DQ=BP

∠MDQ=∠NBP

DM=BN

DQ=BP

∠MDQ=∠NBP

DM=BN DQ=BP ∠MDQ=∠NBP DM=BN DM=BN DM=BN DQ=BP DQ=BP DQ=BP ∠MDQ=∠NBP ∠MDQ=∠NBP ∠MDQ=∠NBP ，
∴△MQD≌△NPB（SAS）．
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵M是AD中点，Q是DN中点，
∴MQ= (1)/(2) AN，
∴MQ= (1)/(2) BM，
∵MP= (1)/(2) BM，
∴MP=MQ，
∴平行四边形MQNP是菱形． (1)/(2) 1 2 1 1 1 2 2 2 AN，
∴MQ= (1)/(2) BM，
∵MP= (1)/(2) BM，
∴MP=MQ，
∴平行四边形MQNP是菱形． (1)/(2) 1 2 1 1 1 2 2 2 BM，
∵MP= (1)/(2) BM，
∴MP=MQ，
∴平行四边形MQNP是菱形． (1)/(2) 1 2 1 1 1 2 2 2 BM，
∴MP=MQ，
∴平行四边形MQNP是菱形．