如图1，在菱形OABC中，已知OA=23，∠AOC=60°，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过O，C，B三点．（Ⅰ）求出点B、C的坐标并求抛物线的解析式．（Ⅱ）如图2，点E是AC的中点，点F是AB的中点，直线AG垂直BC

Question

如图1，在菱形OABC中，已知OA=2√(3)，∠AOC=60°，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过O，C，B三点．
（Ⅰ）求出点B、C的坐标并求抛物线的解析式．
（Ⅱ）如图2，点E是AC的中点，点F是AB的中点，直线AG垂直BC于点G，点P在直线AG上．
（1）当OP+PC的最小值时，求出点P的坐标；
（2）在（1）的条件下，连接PE、PF、EF得△PEF，问在抛物线上是否存在点M，使得以M，B，C为顶点的三角形与△PEF相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）如图1，作CH⊥OA于点H，
四边形OABC是菱形，OA=2√(3)，∠AOC=60°，OC=2√(3)，
OH=sin60°•2√(3)=√(3)，
CH=cos60°•2√(3)=3，
A点坐标为（2√(3)，0），
C点的坐标为（√(3)，3），
由菱形的性质得B点的坐标为（3√(3)，3）．
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，根据题意得

c＝0

3a+√(3)b+c＝3

27a+3√(3)b+c＝3

，
解得a=-(1)/(3)，b=(4√(3))/(3)，c=0，
所以，y=-(1)/(3)x²+(4√(3))/(3)x．

（Ⅱ）（1）如图2，由（Ⅰ）知抛物线的解析式为：y=-(1)/(3)x²+(4√(3))/(3)x，
即对称轴为x=2√(3)，顶点为Q（2√(3)，4）．
设抛物线与x轴的另一个交点为D，令y=0，得，x²-4√(3)x=0，
解得x₁=0，x₂=4√(3)，
即点D的坐标为（4√(3)，0），
∵点A的坐标为（2√(3)，0），对称轴为x=2√(3)，
且AG⊥BC，
∴直线AG为抛物线的对称轴．
∵B、C两点关于直线AG对称，
∴当OP+PC最小时，
由对称性可知，OP+PC=OB．
即OB，AG的交点为点P，
∵∠AOC=60°，OB为菱形OABC的对角线，
∴∠AOB=30°，
∴AP=OAtan30°=2√(3)×(√(3))/(3)=2，
∴点P的坐标为（2√(3)，2）．

（2）连接OB，CD，CQ，BQ，
由（1）知直线AG为抛物线的对称轴，
则四边形ODBC是关于AG成轴对称的图形．
∵点E是OB中点，点F是AB的中点，点P在抛物
线的对称轴上，
∴PE=PF，EF∥OD，CQ=BQ
∠PEF=∠BOA=30°，
即△PEF是底角为30°的等腰三角形．
在△OBC、△BCD中，
OC=BC=BD=2√(3)，∠BOC=∠BDC=30°，
∴△OBC∽△BCD∽△PEF，
∴符合条件的点的坐标为（0，0），（4√(3)，0）．
又∵AQ=4，AG=3，BC=2√(3)，
∴GQ=1，BG=√(3)，
∴tan∠GBQ=(1)/(√(3))=(√(3))/(3)，
即∠GBQ=30°，
△BQC也是底角为30°的等腰三角形，
∴Q点的（2√(3)，4），
∴符合条件的点M的坐标为（0，0），（4√(3)，0），（2√(3)，4）．