已知椭圆的离心率为,且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若,（i）求的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为

Question

已知椭圆 的离心率为 ,且过点 ．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）四边形 ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线 A   C、BD 过原点 O ，若 ,
（i） 求 的最值．
（ii） 求证：四边形 ABCD 的面积为定值；

Answer 1

已知椭圆 的离心率为 ,且过点 ．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）四边形 ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线 A   C、BD 过原点 O ，若 ,
（i） 求 的最值．
（ii） 求证：四边形 ABCD 的面积为定值；

(1) . (2)(i) 的最大值为2.  (ii)
.即,四边形 ABCD 的面积为定值        

试题分析：(1)由题意 ， ，又 ，              2分
解得 ,椭圆的标准方程为 .                      4分
(2)设直线 AB 的方程为 ，设
联立 ，得  
     -①
                                                    6分
  
                            7分

=                           8分

                                                    9分
(i)


当 k =0(此时 满足①式),即直线 AB 平行于 x 轴时， 的最小值为-2.
又直线 AB 的斜率不存在时 ，所以 的最大值为2.              11分
(ii)设原点到直线 AB 的距离为 d ，则

.
即,四边形 ABCD 的面积为定值                      13分
点评：对于直线与圆锥曲线的综合问题，往往要联立方程，同时结合一元二次方程根与系数的关系进行求解；而对于最值问题，则可将该表达式用直线斜率k表示，然后根据题意将其进行化简结合表达式的形式选取最值的计算方式.