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已知一圆经过点A(3,1),B(-1,3),且它的圆心在直线3x-y-2=0上.(1)求此圆的方程;(2)若点D为所求圆上任意一点,且点C(3,0),求线段CD的中点M的轨迹方程.
题目详情
已知一圆经过点A(3,1),B(-1,3),且它的圆心在直线3x-y-2=0上.
(1)求此圆的方程;
(2)若点D为所求圆上任意一点,且点C(3,0),求线段CD的中点M的轨迹方程.
(1)求此圆的方程;
(2)若点D为所求圆上任意一点,且点C(3,0),求线段CD的中点M的轨迹方程.
▼优质解答
答案和解析
(1)由已知可设圆心N(a,3a-2),又由已知得|NA|=|NB|,
从而有
=
,解得:a=2.
于是圆N的圆心N(2,4),半径r=
.
所以,圆N的方程为(x-2)2+(y-4)2=10.
(2)设M(x,y),又点D是圆N:(x-2)2+(y-4)2=10上任意一点,可设D(2+
cosα,4+
sinα).
∵C(3,0),点M是线段CD的中点,
∴有x=
,y=
,
消去参数α得:(x-
)2+(y-2)2=
.
故所求的轨迹方程为:(x-
)2+(y-2)2=
从而有
(a-3)2+(3a-2-1)2 |
(a+1)2+(3a-2-3)2 |
于是圆N的圆心N(2,4),半径r=
10 |
所以,圆N的方程为(x-2)2+(y-4)2=10.
(2)设M(x,y),又点D是圆N:(x-2)2+(y-4)2=10上任意一点,可设D(2+
10 |
10 |
∵C(3,0),点M是线段CD的中点,
∴有x=
3+2+
| ||
2 |
0+4+
| ||
2 |
消去参数α得:(x-
5 |
2 |
5 |
2 |
故所求的轨迹方程为:(x-
5 |
2 |
5 |
2 |
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