已知一圆经过点A（3，1），B（-1，3），且它的圆心在直线3x-y-2=0上．（1）求此圆的方程；（2）若点D为所求圆上任意一点，且点C（3，0），求线段CD的中点M的轨迹方程．

Question

已知一圆经过点A（3，1），B（-1，3），且它的圆心在直线3x-y-2=0上．
（1）求此圆的方程；
（2）若点D为所求圆上任意一点，且点C（3，0），求线段CD的中点M的轨迹方程．

Answer 1

（1）由已知可设圆心N（a，3a-2），又由已知得|NA|=|NB|，
从而有√((a-3)2+(3a-2-1)2)=√((a+1)2+(3a-2-3)2)，解得：a=2．
于是圆N的圆心N（2，4），半径r=√(10)．
所以，圆N的方程为（x-2）²+（y-4）²=10．
（2）设M（x，y），又点D是圆N：（x-2）²+（y-4）²=10上任意一点，可设D（2+√(10)cosα，4+√(10)sinα）．
∵C（3，0），点M是线段CD的中点，
∴有x=(3+2+√(10)cosα)/(2)，y=(0+4+√(10)sinα)/(2)，
消去参数α得：（x-(5)/(2)）²+（y-2）²=(5)/(2)．
故所求的轨迹方程为：（x-(5)/(2)）²+（y-2）²=(5)/(2)