已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE，BD⊥CE．（

Question

已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE，BD⊥CE．
（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，探究AD、BD、CD三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；（3）若BD=√(3)CD，直接写出∠BAD的度数．

Answer 1

（1）证明：如图1，∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=90°，
∴∠DAE=∠CAE+∠DAC=90°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，

AB=AC

∠BAD=∠CAE

AD=AE

，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，∠ACE=∠ABC=45°．
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
∴BD⊥CE；
（2）2AD²=BD²+CD²，
理由：如图2，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE、DE．
与（1）同理可证CE=BD，CE⊥BD，
∵∠EAD=90°AE=AD，
∴ED=√(2)AD，
在RT△ECD中，ED²=CE²+CD²，
∴2AD²=BD²+CD²．
（3）如图3，①当D在BC边上时，将线段AD₁绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AE，连接BE，
与（1）同理可证△ABE≌△ACD₁，
∴BE=CD₁，BE⊥BC，
∵BD=√(3)CD，
∴BD₁=√(3)BE，
∴tan∠BD₁E=(BE)/(BD1)=(√(3))/(3)，
∴∠BD₁E=30°，
∵∠EAD₁=∠EBD₁=90°，
∴四边形A、D₁、B、E四点共圆，
∴∠EAB=∠BD₁E=30°，
∴∠BAD₁=90°-30°=60°；
②当D在BC延长线上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AF，连接CF．
同理可证：∠CFD₂=30°，
∵∠FAD₂=∠FCD₂=90°，
∴四边形A、F、D₂、C四点共圆，
∴∠CAD₂=∠CFD₂=30°，
∴∠BAD₂=90°+30°=120°，
综上，∠BAD的度数为60°或120°．