定义在R上的f（x），满足f（m+n2）=f（m）+2[f（n）]2，m，n∈R，且f（1）≠0，则f（2012）的值为．

Question

定义在R上的f（x），满足f（m+n²）=f（m）+2[f（n）]²，m，n∈R，且f（1）≠0，则f（2012）的值为______．

Answer 1

∵f（m+n²）=f（m）+2[f（n）]²，对于任意的m，n∈R都成立且f（1）≠0，
令m=n=0可得，f（0）=f（0）+2f²（0），则f（0）=0
令m=0，n=1可得f（1）=f（0）+2f²（1）
∵f（1）≠0
∴f(1)＝(1)/(2)
∵f（m+n²）=f（m）+2[f（n）]²，对于任意的m，n∈R都成立
令n=1可得，f（m+1）=f（m）+2[f（1）]²，即f（m+1）-f（m）=2[f（1）]²=(1)/(2)
由f（m+1）-f（m）=(1)/(2)可得f（m）是以f（1）=(1)/(2)为首项，以(1)/(2)为公差的等差数列
由等差数列的通项公式可得，f（m）=(1)/(2)+(1)/(2)(n−1)＝(n)/(2)
∴f（2012）=1006
故答案为：1006