在半径是R的竖直放置的圆柱形容器内需装多高的液体,才能使液体对容器侧面的压力等于液体对容器底部的压力请给予详细回答,最好列出解题过程和公式.

Question

在半径是R的竖直放置的圆柱形容器内需装多高的液体,才能使液体对容器侧面的压力等于液体对容器底部的压力
请给予详细回答,最好列出解题过程和公式.

Answer 1

设装的高度为h
∵半径是R
∴底面积S=派*R^2
又∵底面的压强p=ρgh
∴液体对容器底部的压力F1=S*p=ρ*g*h*派*R^2
∵底面周长l=2*派*R
∴容器侧面有受力的面积=l*h=2*派*R*h
∵侧面上受力点受到的压强p=ρgh'（这个h'不是我一开始设的液体高度h,而是受力点所在的深度,受力点所处的深度并非是一样的,LZ注意下）
又∵容器是圆柱形的
∴侧面上每个受力点受到的压强p=ρgh/2（这个我在这也说不清楚,反正大概意思是侧面上有的受力点不深,受到的压强很小；有的受力点很深,受到的压强很大.因为这是个圆柱体,所以当你把这些不同受力点所受的不同大小的力加起来时,其中有一步是要累加这些压强,就会发现这些不同大小的压强的和,等同于这些压强的平均值乘上面积）
∴侧面所受压力F2=ρg*派*R*h^2
当F1=F2时,
即ρ*g*h*派*R^2=ρg*派*R*h^2
∴h=R
∴需装高为R的液体