已知数列{an}满足：a1+3a2+…+（2n-1）an=（2n-3）•2n+1，数列{bn}的前n项和Sn=2n2+n-2．求数列{an•bn}的前n项和Wn．

Question

已知数列{a_n}满足：a₁+3a₂+…+（2n-1）a_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹，数列{b_n}的前n项和S_n=2n²+n-2．求数列{a_n•b_n}的前n项和W_n．

Answer 1

当n≥2时，(2n-1)•an=(2n-3)•2n+1-（2n-5）•2ⁿ=2ⁿ（2n-1），
∴an=2n．
∵a₁=-4，∴an=

-4，n=1

2n，n≥2

，
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=4n-1，
∵b₁=1，∴bn=

1，n=1

4n-1，n≥2

．
①Wn=-4+[22×7+23×11+…+2n×(4n-1)]，
记s=2²×7+2³×11+2⁴×15+…+2ⁿ×（4n-1），
∴2s=2³×7+2⁴×11+…+2ⁿ（4n-5）+2ⁿ⁺¹（4n-1）②，
①-②得-s=28+4（2³+2⁴+…+2ⁿ）-2ⁿ⁺¹（4n-1）
=28+32（2^n-2-1）-2ⁿ⁺¹（4n-1）
=-4+2ⁿ⁺¹（5-4n），
∴s=4+2ⁿ⁺¹（4n-5），
∴Wn=2n+1(4n-5)．