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三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB＝AC，且∠A＝36°．小题1:在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图
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| 三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ ABC 中，已知： AB ＝ AC ，且∠ A ＝36°．  小题1:在图1中，用尺规作 AB 的垂直平分线交 AC 于 D ，并连接 BD （保留作图痕迹，不写作法）； 小题2:△ BCD 是不是黄金三角形，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由； 小题3:设  ，试求 k 的值；小题4:如图2，在△ A 1 B 1 C 1 中，已知 A 1 B 1 ＝ A 1 C 1 ，∠ A 1 ＝108°，且 A 1 B 1 ＝ AB ， 请直接写出  的值． |
三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ ABC 中，已知： AB ＝ AC ，且∠ A ＝36°．
小题1:在图1中，用尺规作 AB 的垂直平分线交 AC 于 D ，并连接 BD （保留作图痕迹，不写作法）；
小题2:△ BCD 是不是黄金三角形，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
小题3:设 ，试求 k 的值；
小题4:如图2，在△ A 1 B 1 C 1 中，已知 A 1 B 1 ＝ A 1 C 1 ，∠ A 1 ＝108°，且 A 1 B 1 ＝ AB ，
请直接写出 的值．
小题1:在图1中，用尺规作 AB 的垂直平分线交 AC 于 D ，并连接 BD （保留作图痕迹，不写作法）；
小题2:△ BCD 是不是黄金三角形，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
小题3:设
，试求 k 的值；小题4:如图2，在△ A 1 B 1 C 1 中，已知 A 1 B 1 ＝ A 1 C 1 ，∠ A 1 ＝108°，且 A 1 B 1 ＝ AB ，
请直接写出
的值． 三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ ABC 中，已知： AB ＝ AC ，且∠ A ＝36°．
小题1:在图1中，用尺规作 AB 的垂直平分线交 AC 于 D ，并连接 BD （保留作图痕迹，不写作法）；
小题2:△ BCD 是不是黄金三角形，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
小题3:设 ，试求 k 的值；
小题4:如图2，在△ A 1 B 1 C 1 中，已知 A 1 B 1 ＝ A 1 C 1 ，∠ A 1 ＝108°，且 A 1 B 1 ＝ AB ，
请直接写出 的值．
小题1:在图1中，用尺规作 AB 的垂直平分线交 AC 于 D ，并连接 BD （保留作图痕迹，不写作法）；
小题2:△ BCD 是不是黄金三角形，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
小题3:设
，试求 k 的值；小题4:如图2，在△ A 1 B 1 C 1 中，已知 A 1 B 1 ＝ A 1 C 1 ，∠ A 1 ＝108°，且 A 1 B 1 ＝ AB ，
请直接写出
的值． 三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ ABC 中，已知： AB ＝ AC ，且∠ A ＝36°．
小题1:在图1中，用尺规作 AB 的垂直平分线交 AC 于 D ，并连接 BD （保留作图痕迹，不写作法）；
小题2:△ BCD 是不是黄金三角形，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
小题3:设 ，试求 k 的值；
小题4:如图2，在△ A 1 B 1 C 1 中，已知 A 1 B 1 ＝ A 1 C 1 ，∠ A 1 ＝108°，且 A 1 B 1 ＝ AB ，
请直接写出 的值．
小题1:在图1中，用尺规作 AB 的垂直平分线交 AC 于 D ，并连接 BD （保留作图痕迹，不写作法）；
小题2:△ BCD 是不是黄金三角形，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
小题3:设
，试求 k 的值；小题4:如图2，在△ A 1 B 1 C 1 中，已知 A 1 B 1 ＝ A 1 C 1 ，∠ A 1 ＝108°，且 A 1 B 1 ＝ AB ，
请直接写出
的值． 三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ ABC 中，已知： AB ＝ AC ，且∠ A ＝36°．
小题1:在图1中，用尺规作 AB 的垂直平分线交 AC 于 D ，并连接 BD （保留作图痕迹，不写作法）；
小题2:△ BCD 是不是黄金三角形，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
小题3:设 ，试求 k 的值；
小题4:如图2，在△ A 1 B 1 C 1 中，已知 A 1 B 1 ＝ A 1 C 1 ，∠ A 1 ＝108°，且 A 1 B 1 ＝ AB ，
请直接写出 的值．
ABC AB AC A 小题1:在图1中，用尺规作 AB 的垂直平分线交 AC 于 D ，并连接 BD （保留作图痕迹，不写作法）；
小题2:△ BCD 是不是黄金三角形，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
小题3:设
，试求 k 的值；小题4:如图2，在△ A 1 B 1 C 1 中，已知 A 1 B 1 ＝ A 1 C 1 ，∠ A 1 ＝108°，且 A 1 B 1 ＝ AB ，
请直接写出
的值．AB AC D BD
BCD
kA 1 B 1 C 1 A 1 B 1 A 1 C 1 A 1 A 1 B 1 AB
▼优质解答
答案和解析
小题1:如图所示
小题2:△BCD是黄金三角形．
证明如下：
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°．
又∵∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴△BCD是黄金三角形．
小题3:设 BC ＝ x ， AC ＝ y ，
由（2）知，AD＝BD＝BC＝ x ．
∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴
，即
，
整理，得
，
解得
．/
因为 x 、 y 均为正数，所以
．
小题4:
理由：延长BC到E，使CD＝AC，连接AE．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝72°，
∴∠ACE＝180°－72°＝108°，
∴∠ACE＝∠B 1 A 1 C 1 ．
∵A 1 B 1 ＝AB，
∴AC＝CE＝A 1 B 1 ＝A 1 C 1 ，
∴△ACE≌△B 1 A 1 C 1 ，
∴AE＝B 1 C 1 ．
由（3）知，，
∴
，
，
∴
．
小题1:如图所示
小题2:△BCD是黄金三角形．
证明如下：
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°．
又∵∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴△BCD是黄金三角形．
小题3:设 BC ＝ x ， AC ＝ y ，
由（2）知，AD＝BD＝BC＝ x ．
∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴ ，即 ，
整理，得 ，
解得 ．/
因为 x 、 y 均为正数，所以 ．
小题4:
理由：延长BC到E，使CD＝AC，连接AE．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝72°，
∴∠ACE＝180°－72°＝108°，
∴∠ACE＝∠B 1 A 1 C 1 ．
∵A 1 B 1 ＝AB，
∴AC＝CE＝A 1 B 1 ＝A 1 C 1 ，
∴△ACE≌△B 1 A 1 C 1 ，
∴AE＝B 1 C 1 ．
由（3）知，，
∴ ， ，
∴ ．
小题1:如图所示
小题2:△BCD是黄金三角形．
证明如下：
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°．
又∵∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴△BCD是黄金三角形．
小题3:设 BC ＝ x ， AC ＝ y ，
由（2）知，AD＝BD＝BC＝ x ．
∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴ ，即 ，
整理，得 ，
解得 ．/
因为 x 、 y 均为正数，所以 ．
小题4:
理由：延长BC到E，使CD＝AC，连接AE．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝72°，
∴∠ACE＝180°－72°＝108°，
∴∠ACE＝∠B 1 A 1 C 1 ．
∵A 1 B 1 ＝AB，
∴AC＝CE＝A 1 B 1 ＝A 1 C 1 ，
∴△ACE≌△B 1 A 1 C 1 ，
∴AE＝B 1 C 1 ．
由（3）知，，
∴ ， ，
∴ ．
小题1:如图所示
小题2:△BCD是黄金三角形．
证明如下：
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°．
又∵∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴△BCD是黄金三角形．
小题3:设 BC ＝ x ， AC ＝ y ，
由（2）知，AD＝BD＝BC＝ x ．
∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴ ，即 ，
整理，得 ，
解得 ．/
因为 x 、 y 均为正数，所以 ．
小题4:
理由：延长BC到E，使CD＝AC，连接AE．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝72°，
∴∠ACE＝180°－72°＝108°，
∴∠ACE＝∠B 1 A 1 C 1 ．
∵A 1 B 1 ＝AB，
∴AC＝CE＝A 1 B 1 ＝A 1 C 1 ，
∴△ACE≌△B 1 A 1 C 1 ，
∴AE＝B 1 C 1 ．
由（3）知，，
∴ ， ，
∴ ．
小题1:如图所示
小题2:△BCD是黄金三角形．
证明如下：
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°．
又∵∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴△BCD是黄金三角形．
小题3:设 BC BC ＝ x x ， AC AC ＝ y y ，
由（2）知，AD＝BD＝BC＝ x x ．
∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴ ，即 ，
整理，得 ，
解得 ．/
因为 x x 、 y y 均为正数，所以 ．
小题4:
理由：延长BC到E，使CD＝AC，连接AE．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝72°，
∴∠ACE＝180°－72°＝108°，
∴∠ACE＝∠B 1 1 A 1 1 C 1 1 ．
∵A 1 1 B 1 1 ＝AB，
∴AC＝CE＝A 1 1 B 1 1 ＝A 1 1 C 1 1 ，
∴△ACE≌△B 1 1 A 1 1 C 1 1 ，
∴AE＝B 1 1 C 1 1 ．
由（3）知，，
∴ ， ，
∴ ．
| 小题1:如图所示 小题2:△BCD是黄金三角形． 证明如下： ∵点D在AB的垂直平分线上， ∴AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A． ∵∠A＝36°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝72°， ∴∠ABD＝∠DBC＝36°． 又∵∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°， ∴∠BDC＝∠C， ∴BD＝BC， ∴△BCD是黄金三角形． 小题3:设 BC ＝ x ， AC ＝ y ， 由（2）知，AD＝BD＝BC＝ x ． ∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C， ∴△BDC∽△ABC， ∴ ，即 ，整理，得 ，解得 ．/因为 x 、 y 均为正数，所以 ．小题4: 理由：延长BC到E，使CD＝AC，连接AE． ∵∠A＝36°，AB＝AC， ∴∠ACB＝∠B＝72°， ∴∠ACE＝180°－72°＝108°， ∴∠ACE＝∠B 1 A 1 C 1 ． ∵A 1 B 1 ＝AB， ∴AC＝CE＝A 1 B 1 ＝A 1 C 1 ， ∴△ACE≌△B 1 A 1 C 1 ， ∴AE＝B 1 C 1 ． 由（3）知，， ∴ ， ，∴ ． |
小题1:如图所示
小题2:△BCD是黄金三角形．
证明如下：
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°．
又∵∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴△BCD是黄金三角形．
小题3:设 BC ＝ x ， AC ＝ y ，
由（2）知，AD＝BD＝BC＝ x ．
∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴
，即 ，整理，得
，解得
．/因为 x 、 y 均为正数，所以
．小题4:
理由：延长BC到E，使CD＝AC，连接AE．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝72°，
∴∠ACE＝180°－72°＝108°，
∴∠ACE＝∠B 1 A 1 C 1 ．
∵A 1 B 1 ＝AB，
∴AC＝CE＝A 1 B 1 ＝A 1 C 1 ，
∴△ACE≌△B 1 A 1 C 1 ，
∴AE＝B 1 C 1 ．
由（3）知，，
∴
， ，∴
．小题1:如图所示
小题2:△BCD是黄金三角形．
证明如下：
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°．
又∵∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴△BCD是黄金三角形．
小题3:设 BC ＝ x ， AC ＝ y ，
由（2）知，AD＝BD＝BC＝ x ．
∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴
，即 ，整理，得
，解得
．/因为 x 、 y 均为正数，所以
．小题4:
理由：延长BC到E，使CD＝AC，连接AE．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝72°，
∴∠ACE＝180°－72°＝108°，
∴∠ACE＝∠B 1 A 1 C 1 ．
∵A 1 B 1 ＝AB，
∴AC＝CE＝A 1 B 1 ＝A 1 C 1 ，
∴△ACE≌△B 1 A 1 C 1 ，
∴AE＝B 1 C 1 ．
由（3）知，，
∴
， ，∴
．小题1:如图所示
小题2:△BCD是黄金三角形．
证明如下：
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°．
又∵∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴△BCD是黄金三角形．
小题3:设 BC ＝ x ， AC ＝ y ，
由（2）知，AD＝BD＝BC＝ x ．
∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴
，即 ，整理，得
，解得
．/因为 x 、 y 均为正数，所以
．小题4:
理由：延长BC到E，使CD＝AC，连接AE．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝72°，
∴∠ACE＝180°－72°＝108°，
∴∠ACE＝∠B 1 A 1 C 1 ．
∵A 1 B 1 ＝AB，
∴AC＝CE＝A 1 B 1 ＝A 1 C 1 ，
∴△ACE≌△B 1 A 1 C 1 ，
∴AE＝B 1 C 1 ．
由（3）知，，
∴
， ，∴
．小题1:如图所示
小题2:△BCD是黄金三角形．
证明如下：
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°．
又∵∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴△BCD是黄金三角形．
小题3:设 BC ＝ x ， AC ＝ y ，
由（2）知，AD＝BD＝BC＝ x ．
∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴
，即 ，整理，得
，解得
．/因为 x 、 y 均为正数，所以
．小题4:
理由：延长BC到E，使CD＝AC，连接AE．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝72°，
∴∠ACE＝180°－72°＝108°，
∴∠ACE＝∠B 1 A 1 C 1 ．
∵A 1 B 1 ＝AB，
∴AC＝CE＝A 1 B 1 ＝A 1 C 1 ，
∴△ACE≌△B 1 A 1 C 1 ，
∴AE＝B 1 C 1 ．
由（3）知，，
∴
， ，∴
．小题1:如图所示
小题2:△BCD是黄金三角形．
证明如下：
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°．
又∵∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴△BCD是黄金三角形．
小题3:设 BC BC ＝ x x ， AC AC ＝ y y ，
由（2）知，AD＝BD＝BC＝ x x ．
∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴
，即 ，整理，得
，解得
．/因为 x x 、 y y 均为正数，所以
．小题4:
理由：延长BC到E，使CD＝AC，连接AE．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝72°，
∴∠ACE＝180°－72°＝108°，
∴∠ACE＝∠B 1 1 A 1 1 C 1 1 ．
∵A 1 1 B 1 1 ＝AB，
∴AC＝CE＝A 1 1 B 1 1 ＝A 1 1 C 1 1 ，
∴△ACE≌△B 1 1 A 1 1 C 1 1 ，
∴AE＝B 1 1 C 1 1 ．
由（3）知，，
∴
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． | 略 |
略
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