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微分方程y'+[e^(-x)-1]y=1的通解为?
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微分方程y'+[e^(-x)-1]y=1的通解为?
▼优质解答
答案和解析
因为(ye^f(x))'=e^f(x)*(y'+f'(x)y)
所以考虑∫(e^(-x)-1)dx=-e^(-x)-x+C
所以e^(-e^(-x)-x)(y'+(e^(-x)-1)y)=e^(-e^(-x)-x)
(ye^(-e^(-x)-x))'=e^(-e^(-x)-x)
两边积分：ye^(-e^(-x)-x)=∫e^(-e^(-x)-x)dx=∫e^(e^(-x))*e^(-x)dx=-∫e^(-e^(-x))d(e^(-x))=∫e^(-e^(-x))d(-e^(-x))=e^(-e^(-x))+C
所以y=e^x+C*e^(e^x+x)
所以考虑∫(e^(-x)-1)dx=-e^(-x)-x+C
所以e^(-e^(-x)-x)(y'+(e^(-x)-1)y)=e^(-e^(-x)-x)
(ye^(-e^(-x)-x))'=e^(-e^(-x)-x)
两边积分：ye^(-e^(-x)-x)=∫e^(-e^(-x)-x)dx=∫e^(e^(-x))*e^(-x)dx=-∫e^(-e^(-x))d(e^(-x))=∫e^(-e^(-x))d(-e^(-x))=e^(-e^(-x))+C
所以y=e^x+C*e^(e^x+x)
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