设函数f（x）=ex+sinx，g（x）=ax，F（x）=f（x）-g（x）．（1）若x=0是F（x）的极值点，求实数a的值；（2）若x＞0时，函数y=F（x）的图象恒在y=F（-x）的图象上方，求实数a的取值范围．

Question

设函数f（x）=e^x+sinx，g（x）=ax，F（x）=f（x）-g（x）．
（1）若x=0是F（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若x＞0时，函数y=F（x）的图象恒在y=F（-x）的图象上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）F（x）=e^x+sinx-ax，求导函数可得F′（x）=e^x+cosx-a．
因为x=0是F（x）的极值点，所以F′（0）=1+1-a=0，∴a=2．
当a=2时，若x＜0，F′（x）=e^x+cosx-a＜0；若x＞0，F′（x）=e^x+cosx-a＞0；
∴x=0是F（x）的极小值点，∴a=2符合题意；
（2）令h（x）=F（x）-F（-x）=e^x-e^-x+2sinx-2ax，则h′（x）=e^x+e^-x+2cosx-2a，S（x）=h″（x）=e^x-e^-x-2sinx．
因为S′（x）=e^x+e^-x-2cosx≥0，当x＞0时恒成立，所以函数S（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴S（x）≥S（0）=0当x∈（0，+∞）时恒成立；
因此函数h′（x）在[0，+∞）上单调递增，h′（x）≥h′（0）=4-2a，当x∈（0，+∞）时恒成立．
当a≤2时，h′（x）≥0，h（x）在（0，+∞）单调递增，即h（x）≥h（0）=0．
故a≤2时，F（x）＞F（-x）恒成立．
当a＞2时，∵h′（x）在[0，+∞）上单调递增，∴总存在x₀∈（0，+∞）使得在区间[0，x₀）上h′（x）＜0，
∴h（x）在区间[0，x₀）上递减，而h（0）=0
∴当x∈（0，x₀）时，h（x）＜0，这与F（x）-F（-x）≥0对x∈[0，+∞）恒成立矛盾
∴a＞2不合题意
综上a的取值范围是（-∞，2]．