设两圆圆O1,圆O2内切于A,其半径分别为R,r(R>r),任作一直线垂直于连心线所在的直线,并使其在连心线同侧分交O1与O2于B,C,求证：三角形ABC的外接圆的面积为定值.

Question

设两圆圆O1,圆O2内切于A,其半径分别为R,r(R>r),任作一直线垂直于连心线所在的直线,并使其在连心线同侧分
交O1与O2于B,C,求证：三角形ABC的外接圆的面积为定值.

Answer 1

证明：垂直于连心线的直线交连心线于D
BD²= R²-(AD-R)²,CD=r²-(AD-r)²
BC= BD-CD
= √[R²-(AD-R)²] - √[r²-(AD-r)²]
= √(2AD*R-AD²) - √(2AD*r-AD²)
sin∠ABC = AD/AB= AB/2R
= √(AD/2R)
cos∠ABC = √[(2R-AD)/2R]
sin∠ACB = AD/AC= AC/2r
= √(AD/2r)
cos∠ACB = -√[(2r-AD)/2r]
sin∠BAC= sin(∠ABC+∠ACB)
= sin∠ABC *cos∠ACB + sin∠ACB cos∠ABC
= -√(AD/2R)*√[(2r-AD)/2r] +√(AD/2r)*√[(2R-AD)/2R]
= √1/(4Rr) * {√[(2R-AD)*AD] -√[(2r-AD)*AD]}
△ABC外接圆直径=BC/sin∠BAC
=[√(2AD*R-AD²) - √(2AD*r-AD²)]/ √(1/4Rr) /{√[(2R-AD)*AD] -√[(2r-AD)*AD]}
=4Rr