已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且函数y＝f(x)+2x的图象开口向下与x轴的两个交点的横坐标分别为1,3.(1)若方程f(x)+6a=0有两相等的根,求函数a的解析式;(2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围．

Question

已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且函数y＝f(x)+2x的图象开口向下与x轴的两个交点的横坐标分别为1,3.
(1)若方程f(x)+6a=0有两相等的根,求函数a的解析式;
(2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围．

Answer 1

f(x)=ax²+bx+c
y＝f(x)+2x的图象开口向下
则a＜0
y＝f(x)+2x与x轴的两个交点的横坐标分别为1,3
则 1,3是方程 f(x)+2x=0即ax²+(b+2)x+c=0的两个根
有1+3=-(b+2)/a b=-2-4a
1*3=c/a c=3a
f(x)=ax²-(2+4a)x+3a
(1)若方程f(x)+6a=0有两相等的根
则ax²-(2+4a)x+3a+6a=0
的根的判别式=(2+4a)²-4a*9a=0
a=-1/5（正解舍去）
(2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围
函数f(x)+2x开口向下,则a＜0
则函数f(x)的开口也向下,他与X轴有2个交点,则可知他必有大于0的最大值,所以只要a