用比例法证线段平行三角形ABC中,若AD为叫BRC的平分线,M为BC中点,CP垂直AD于P,交AM于Q,求证：DQ平行AC

Question

用比例法证线段平行
三角形ABC中,若AD为叫BRC的平分线,M为BC中点,CP垂直AD于P,交AM于Q,求证：DQ平行AC

Answer 1

AD是平分BAC吧.R字母都没出现
延长CQ交AB于R,既有AR = AC,三角形ABM被直线RC截,由梅涅劳斯定理得到
(AR/RB) * (BC/CM) * (MQ/QA)=1
即
MQ/QA = (CM/BC) * (RB/AR) = 0.5 * (RB/AR)
下面逆推
要证
MQ/QA = MD/DC
就要证
0.5 * (RB/AR) = MD/DC
即
RB/AR=2MD/DC
两边加1有
AB/AR = (2MD+DC)/DC = (MD + MC)/DC = (MD + MB)/DC
由角平分线定理得到
BD/DC = AB/AC = AB/AR = (MD + MB)/DC
即
BD = MD + MB
这是显然成立的
于是我们得到
MQ/QA = MD/DC
即有
QD平行于AC
另外注意到CP可能交到AD延长线上,但证法类似上面