如图，已知点A（0，4）、B（4，1），BC⊥x轴于点C，点P为线段OC上一点，且PA⊥PB．（1）求点P的坐标；（2）求过点A、B、P三点的抛物线的解析式；（3）点D与点A、B、C三点构成平行四边形，把

Question

如图，已知点A（0，4）、B（4，1），BC⊥x轴于点C，点P为线段OC上一点，且PA⊥PB．
（1）求点P的坐标；
（2）求过点A、B、P三点的抛物线的解析式；
（3）点D与点A、B、C三点构成平行四边形，把（2）中的抛物线向上或向下平移多少个单位长度后所得的抛物线经过点D？请直接写出点D的坐标及相应平移方向与平移距离．

Answer 1

（1）如图1所示：
∵PA⊥PB，
∴∠2+∠3=90°，
∵AO⊥x轴，
∴∠1=∠2，
又∵BC⊥x轴，AO⊥x轴，
∴∠BCP=∠POA=90°，
∴△BCP∽△POA，
∴(BC)/(OP)=(PC)/(AO)，
∵点A（0，4）、B（4，1），
∴AO=4，BC=1，OC=4，
∴(1)/(OP)=(4−OP)/(4)，
解得：OP=2，
∴P（2，0）；

（2）设过点A，B，P三点的抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，
∵点A（0，4）、B（4，1），
∴

c＝4

1＝16a+4b+c

0＝4a+2b+c

，
解得：

a＝(5)/(8)

b＝−(13)/(4)

c＝4

，
故抛物线解析式为：y=(5)/(8)x ²-(13)/(4)x+4；

（3）如图2所示：当AB=PD₁，AB∥PD₁，此时AD₁PB是平行四边形，AD₁=PB=1，AO=4，则OD₁=3，
故D₁（0，3），利用抛物线过点A，则抛物线向下平移1个单位即可过点D₁；
当AP=BD₂，AP∥BD₂，此时AD₂BP是平行四边形，AD₂=PB=1，AO=4，则OD₂=5，
故D₂（0，5），利用抛物线过点A，则抛物线向上平移1个单位即可过点D₂；
当AB=PD₃，AB∥PD₃，此时APD₃B是平行四边形，PD₃=AB=5，A点和D₃点到PB距离相等为4，则点D₃到x轴距离为3，
故D₃（8，-3），∵y=(5)/(8)x ²-(13)/(4)x+4=(5)/(8)（x-