1.求半径为R,中心角为2a的圆弧L关于它的对称轴的转动惯量.2.确定摆线的半拱x=a(t-sint),y=a(1-cost)(0

Question

1.求半径为R,中心角为2a的圆弧L关于它的对称轴的转动惯量.
2.确定摆线的半拱x=a(t-sint),y=a(1-cost)(0

Answer 1

1、平面曲线L的线密度是f(x,y),关于x轴,y轴的转动惯量Ix=∫(L) y^2f(x,y)ds,Iy=∫(L) x^2f(x,y)ds
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以原点为圆心,x轴为对称轴,圆弧的方程是x^2+y^2=R^2,参数方程是x=Rcost,y=Rsint,-a≤t≤a.ds＝Rdt.
这里的圆弧应该是均匀圆弧吧?那就是线密度为常数μ,所以圆弧关于x轴的转动惯量Ix=∫(L) y^2 μds=∫(-a到a) (Rsint)^2*μ*Rdt＝2μR^3∫(0到a) (sint)^2dt＝μR^3∫(0到a) (1-cos2t)dt＝μR^3(a-sinacosa)
2、平面曲线L的线密度是f(x,y),质心坐标X＝∫(L) yf(x,y)ds / ∫(L) f(x,y)ds,Y＝∫(L) xf(x,y)ds / ∫(L) f(x,y)ds
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ds＝2asin(t/2)dt
设摆线的线密度是常数μ,则质量M＝∫(L) μds＝∫(0到π) μ*2asin(t/2)dt＝4aμ,静力矩Mx＝∫(L) yμds＝∫(0到π) μ*a(1-cost)*2asin(t/2)dt＝16μa^2/3,My＝∫(L) xμds＝∫(0到π) μ*a(t-sint)*2asin(t/2)dt＝μa^2(π^2-8)
所以,X＝My/M＝μa^2(π^2-8) / 4μa＝a(π^2-8)/4,Y＝Mx/M＝（16μa^2/3）/ 4μa＝4a/3,质心坐标是(a(π^2-8)/4,4a/3)