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已知函数fx等于根号下1加X的平方再加x,求证,函数fx是开区间负无穷到正无穷上的单调递减函数
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已知函数fx等于根号下1加X的平方再加x,求证,函数fx是开区间负无穷到正无穷上的单调递减函数
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答案和解析
求导判断 f(x) = [ x+根(1+x^2) ]/根(1+x^2) >0点掉增
f(x1)-f(x2) = 根号(1+x1^2) +x1 - 根号(1+x1^2) +x2
= x1 -x2 + [(1+x1^2) -(1+x2^2)]/(根号(1+x1^2) + 根号(1+x1^2) )
= (x1 -x2) + (x1^2 -x2^2)/(根号(1+x1^2) + 根号(1+x1^2) )
= (x1 -x2)(1+x1+x2)/(根号(1+x1^2) + 根号(1+x1^2) )
x1>x2 ==>x1 -x2 >0
根号(1+x1^2) >|x1|
根号(1+x2^2) >|x2|
(根号(1+x1^2) + 根号(1+x1^2) ) + x1+x2 / (根号(1+x1^2) + 根号(1+x1^2) ) >0
当x1>x2时 f(x1)-f(x2)>0
函数为单调增函数
f(x1)-f(x2) = 根号(1+x1^2) +x1 - 根号(1+x1^2) +x2
= x1 -x2 + [(1+x1^2) -(1+x2^2)]/(根号(1+x1^2) + 根号(1+x1^2) )
= (x1 -x2) + (x1^2 -x2^2)/(根号(1+x1^2) + 根号(1+x1^2) )
= (x1 -x2)(1+x1+x2)/(根号(1+x1^2) + 根号(1+x1^2) )
x1>x2 ==>x1 -x2 >0
根号(1+x1^2) >|x1|
根号(1+x2^2) >|x2|
(根号(1+x1^2) + 根号(1+x1^2) ) + x1+x2 / (根号(1+x1^2) + 根号(1+x1^2) ) >0
当x1>x2时 f(x1)-f(x2)>0
函数为单调增函数
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