求一个有理数,使x^2+5和x^2-5都是有理数的平方?

Question

求一个有理数,使x^2+5和x^2-5都是有理数的平方?

Answer 1

x = 41/12,x²+5 = (49/12)²,x²-5 = (31/12)².
不是求一个满足条件的有理数吗?所以我给了一个例子x = 41/12.
我没有什么好方法,就是设x = X/Y,求方程X²+5Y² = Z²,X²-5Y² = W²的正整数解.
取定Y然后分别求解(Z-X)(Z+X) = 5Y²和(X-W)(X+W) = 5Y²,直至二者有X相等的解.
依次尝试Y = 1,2,...直至Y = 12时得到如上的解.
这个问题可以转化为求一个3次曲线上的有理点,据我所知这个问题是很难的.
不过在已知一个有理点的情况下可以得到更多的有理点.
这背后有比较深刻的理论.
如果有问题请追问.