已知方程x^2+bx+c的两根为x1,x2,方程x^2+(b^2)x+20=0两根为x3,x4,且x2-x3=x1-x4=3,求b,c的值

Question

已知方程x^2+bx+c的两根为x1,x2,方程x^2+(b^2)x+20=0两根为x3,x4,
且x2-x3=x1-x4=3,求b,c的值

Answer 1

x2-x3=x1-x4=3
所以x3=x2-3
x4=x1-3
由韦达定理
x3+x4=-b^2
x3x4=20
所以(x2-3)+(x1-3)=-b^2
x1+x2=6-b^2
而x^2+bx+c=0中
x1+x2=-b
所以6-b^2=-b
b^2-b-6=0
(b-3)(b+2)=0
b=3,b=-2
x3x4=20
所以(x1-3)(x2-3)=20
x1x2-3(x1+x2)+9=20
若x1+x2=-b=-3
则x1x2=2
而x^2+bx+c=0中
x1x2=c
所以c=2
若x1+x2=-b=2
则x1x2=17
而x^2+bx+c=0中
x1x2=c
所以c=17
有解则判别式大于等于0
所以b^2-4c>=0
此处显然不符合,舍去
所以b=3,c=2