设a、b、c∈R+,a+b+c=1,求证1.ab+bc+ac=1/33.1/a+1/b+1/c>=9

Question

设a、b、c∈R+,a+b+c=1,求证
1.ab+bc+ac=1/3
3.1/a+1/b+1/c>=9

Answer 1

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac
而2（a^2+b^2+c^2）>=a^2+b^2+a^2+c^2+b^2+c^2>=2ab+2bc+2ac
所以a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ac代入
1=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac>=3(ab+bc+ca)
所以ab+bc+ac<=1/3

由1式a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ac>=1/3
把1=a+b+c代入
(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c=1+b/a+c/a+1+a/b+c/b+1+a/c+b/c=3+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/a)>=3+2+2+2=9
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