如图所示，已知AB∥CD，分别探讨下面的四个图形中∠APC与∠PAB﹑∠PCD的关系，请你从所得关系中任意选取一

Question

如图所示，已知AB∥CD，分别探讨下面的四个图形中∠APC与∠PAB﹑∠PCD的关系，请你从所得关系中任意选取一

Answer 1

（法一） 如图1所示，过P点做EF∥AB， 则∠PAB=∠APE，（两直线平行，内错角相等） 又∵AB∥CD， ∴EF∥CD，（平行线的传递性） ∴∠PCD=∠EPC ∴∠APC=∠PAB+∠PCD （法二） 延长CP交AB于点H， 则∠PCD=∠CHA（两直线平行，内错角相等） 则∠APC=∠PAB+∠AHP（外角性质） =∠PAB+∠PCD（等量代换） （法三） 如图3所示：连接AC， 则∠APC+（∠PAC +∠PCA）=180°（三角形内角和为180°） 又∵（∠PAC +∠PCA）+（∠PAB +∠PCD）=180° ∴∠APC=∠PAB +∠PCD（等量代换） 法四） 如图4所示：分别延长AP、CP，交CD、AB于F、E两点， ∠APC=∠EPD，（对顶角相等） ∵AB∥CD ∴∠AEC=∠PCD（两直线平行，内错角相等） 则∠EPD=∠PAB+∠AEC（外角性质） =∠PAB+∠PCD（等量代换） 则∠APC =∠PAB+∠PCD（等量代换） （法五） 如图5所示：过点P做PE⊥AB，延长EP交CD于点F， 则EF⊥CD,（两直线平行，内错同旁内角互补） 由∠APE+∠PAB+∠AEP=180°（三角形内角和为180°） ∠CPF+∠PCD+∠PFC=180°（三角形内角和为180°） ∵∠AEP=90°，∠PFC=90° ∴（∠APE+∠CPF）+（∠PAB +∠PCD）=180° 又∵（∠APE+∠CPF）+∠APC=180° ∴∠APC=∠PAB +∠PCD（等量代换）