求一个微积分的题,变上限的积分的F(x)=e^x·∫t·sin2tdt积分上限x^2,下线0求F'(x)（这个e的x次方好讨厌！）

Question

求一个微积分的题,变上限的积分的
F(x)=e^x·∫t·sin2tdt
积分上限x^2,下线0
求F'(x)
（这个e的x次方好讨厌！）

Answer 1

F'(x) = d/dx(e^x·∫t·sin2tdt )
= d/dx (e^x) * ∫t·sin2tdt + e^x * d/dx(∫t·sin2tdt)
(Product Rule)
注意 ∫t·sin2tdt 下限0,上限x^2,其本质就一个关于x^2的方程.
故 d/dx(∫t·sin2tdt) = d/dt(∫t·sin2tdt) * d/dx(x^2)
(Chain Rule,with t = x^2)
= x^2·sin2x^2 * 2x
F'(x) = e^x * ∫t·sin2tdt + e^x * x^2·sin2x^2 * 2x