双曲线相关问题点M（x,y）与定点F（c,0）的距离与它到定直线l：x=a^2/c的距离的比是常数c/a（c/a>1），求点M的轨迹。求详细过程。似乎和准线有关，但是老师没教

Question

双曲线相关问题
点M（x,y）与定点F（c,0）的距离与它到定直线l：x=a^2/c的距离的比是常数c/a（c/a>1），求点M的轨迹。
求详细过程。似乎和准线有关，但是老师没教

Answer 1

双曲线的第二定义：动点M到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e（e>1），则M的轨迹为双曲线。其中，F为焦点，直线就叫做准线。
对于双曲线：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其右焦点为F（c，0），右准线为x=a^2/c
其中a^2 + b^2 = c^2，e = c/a > 1
证明如下：
M到定点F的距离的平方为：(x-c)^2 + y^2
M到直线l的距离的平方为：(x - (a^2/c))^2
两者的比为(c/a)^2，所以：
a^2 * [ (x-c)^2 + y^2 ] = c^2 * [ (x - (a^2/c))^2 ]
化简，得：
(c^2-a^2)x^2 - a^2y^2 = a^2 * (a^2 - c^2)
注意到a^2 + b^2 = c^2，所以：
b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2
即：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
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另外，再说一下e。e叫做离心率
若动点M到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e，则：
e>1，则M的轨迹为双曲线
e=1，则M的轨迹为抛物线
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