如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），下顶点为A（0，-b），直线AF与椭圆的右准线交于点B，若F恰好为线段AB的中点．（1）求椭圆C的离心率；（2）若直线AB与圆x2+y2=2

Question

如图，已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），下顶点为A（0，-b），直线AF与椭圆的右准线交于点B，若F恰好为线段AB的中点．

（1）求椭圆C的离心率；
（2）若直线AB与圆x²+y²=2相切，求椭圆C的方程．

Answer 1

解 （1）因为B在右准线x=(a2)/(c)上，且F（c，0）恰好为线段AB的中点，
所以2c=(a2)/(c)，…（2分）
即(c2)/(a2)=(1)/(2)，所以椭圆的离心率e=(√(2))/(2)．         …（4分）
（2）由（1）知a=√(2)c，b=c，所以直线AB的方程为y=x-c，即x-y-c=0，…（6分）
因为直线AB与圆x²+y²=2相切，所以(|c|)/(√(2))=√(2)，…（8分）
解得c=2．所以a=2√(2)，b=2．
所以椭圆C的方程为(x2)/(8)+(y2)/(4)=1．           …（10分）