如图,在矩形ABCD中,ACBD相交于O,EC是CB延长线上一点,CF垂直AE于F求证,DF垂直于BF

Question

如图,在矩形ABCD中,AC BD相交于O,EC是CB延长线上一点,CF垂直AE于F
求证,DF垂直于BF

Answer 1

证明：
因为四边形ABCD是矩形
所以A、B、C、D四点共圆,∠ADC＝∠BAD＝90度
因为CF⊥AF
所以∠AFC＝∠ADC＝90度
所以A、C、D、F四点共圆
所以∠BFD＝∠BAD＝90度
所以DF⊥BF
如果没有学习“四点共圆”知识,可以如下证明：
证明：
连接OF
因为CF⊥AE
所以△ACF是直角三角形
因为四边形ABCD是矩形
所以OA＝OB＝OC＝OD
所以OF是△ACF斜边上的中线
所以OF＝AC/2＝BD/2＝OB＝OD
所以∠ODF＝∠OFD,∠OBF＝∠OFB
因为∠ODF＋∠OFD＋∠OBF＋∠OFB＝180°
所以2（∠OFD＋∠OFB）＝180°
所以∠OFD＋∠OFB＝90°
即∠BFD＝90°
所以DF⊥BF