谁知道1^4+2^4+3^4+…+n^4=?关键是推导过程!

Question

谁知道1^4+2^4+3^4+…+n^4=?关键是推导过程!

Answer 1

要算1^4+2^4+……+n^4
先要知道1+2+3+……+n=½n(n+1)
1²+2²+3²+……+n²=(1/6)n(n+1)(2n+1)
1³+2³+3³+……+n³=[½n(n+1)]²
令f(k)=k^5,则f(k+1)-f(k)=5k^4+10k³+10k²+5k+1
这就是数列{k^5}的递推公式
于是f(2)-f(1)=5×1^4+10×1³+10×1²+5×1+1
f(3)-f(2)=5×2^4+10×2³+10×2²+5×2+1
……
f(n+1)-f(n)=5n^4+10n³+10n²+5n+1
把这所有等式相加
得 f(n+1)-f(1)=5×∑n^4+10×∑n³+10×∑n²+5×∑k+n
(n+1)^5-1=5×∑n^4+10×[½n(n+1)]²+10×(1/6)n(n+1)(2n+1)+5×½n(n+1)+n
所以
∑n^4=【(n+1)^5-1-10×[½n(n+1)]²-10×(1/6)n(n+1)(2n+1)-5×½n(n+1)-n】/5
=(1/30)n(6n^4-15n³+10n²-135n-68)
方法就是这样,不过计算太烦,我也不知道自己算对了没有.
而且,照理来说,还应对这结果因式分解,但我实在不会,没有办法.