已知函数f(x)=e^x-x(e是自然对数的底数),且n∈N*,Sn=∫n0(n在上面)f(x)dx.(1)求Sn.(2)是否存在等差数列{an}和首项为f(1)公比大于0的等比数列{bn},使数列{an+bn}的前n项和等于Sn,若存在,请写出推理过程.

Question

已知函数f(x)=e^x-x(e是自然对数的底数),且n∈N*,Sn=∫n 0(n在上面)f(x)dx.
(1) 求Sn.(2)是否存在等差数列{an}和首项为f(1)公比大于0的等比数列{bn},使数列{an+bn}的前n项和等于Sn,若存在,请写出推理过程.

Answer 1

Sn=[e^x-(1/2)x^2]|(0,n)=e^n-1-(1/2)n^2
令Bn=e^n-1 符合等比数列求和形式(指数系数+常数=0)且首项e-1=f(1)
令An=-(1/2)n^2符合等差数列求和形式(常数项为0)
∴ an=An-An-1=-n+1/2,bn=Bn-Bn-1=(e-1)e^(n-1)