已知直线L交椭圆x^2/20+y^2/16=1,于M,N两点,B（0,4）是椭圆的一个顶点,若△BMN的重心恰落在椭圆右焦点F上,求直线L方程~

Question

已知直线L交椭圆x^2/20+y^2/16=1,于M,N两点,B（0,4）是椭圆的一个顶点,若△BMN的重心恰落在椭圆右焦点F上,求直线L方程~

Answer 1

椭圆标准方程为x²/20 + y²/16 =1
a=2√5,b=4,c=√(20-16)=2
所以点B坐标(0,4),右焦点F坐标(2,0)
设点M坐标(x1,y1),点N坐标(x2,y2)
由于点F是△BMN的重心,所以2=(x1+x2+0)/3,0=(y1+y2+4)/3【重心坐标公式】
解得x1+x2=6,y1+y2=-4
所以MN中点坐标(3,-2)
点M,N都在椭圆上,满足4x1²+5y1²=80,4x2²+5y2²=80,两式相减得：
4(x1-x2)(x1+x2)+5(y1-y2)(y1+y2)=0
所以直线L的斜率=(y1-y2)/(x1-x2)=(-4/5)(x1+x2)/(y1+y2)=(-4/5)(6/-4)=6/5
MN中点(3,-2)在直线L上,由点斜式可得L方程：
y+2=(6/5)(x-3)
即：6x-5y-28=0