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函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，则（）A.f（x）是偶函数B.f（x）是奇函数C.f（x）=f（x+2）D.f（x+3）是奇函数
题目详情
函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，则（ ）
A. f（x）是偶函数
B. f（x）是奇函数
C. f（x）=f（x+2）
D. f（x+3）是奇函数
A. f（x）是偶函数
B. f（x）是奇函数
C. f（x）=f（x+2）
D. f（x+3）是奇函数
▼优质解答
答案和解析
∵f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，
∴函数f（x）关于点（1，0）及点（-1，0）对称，
∴f（x）+f（2-x）=0，f（x）+f（-2-x）=0，
故有f（2-x）=f（-2-x），
函数f（x）是周期T=[2-（-2）]=4的周期函数．
∴f（-x-1+4）=-f（x-1+4），
f（-x+3）=-f（x+3），
f（x+3）是奇函数．
故选D
∴函数f（x）关于点（1，0）及点（-1，0）对称，
∴f（x）+f（2-x）=0，f（x）+f（-2-x）=0，
故有f（2-x）=f（-2-x），
函数f（x）是周期T=[2-（-2）]=4的周期函数．
∴f（-x-1+4）=-f（x-1+4），
f（-x+3）=-f（x+3），
f（x+3）是奇函数．
故选D
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