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求下列定积分∫(上2π下0)x(sinx)^8)dx
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求下列定积分 ∫(上2π 下0) x(sin x)^8)dx
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答案和解析
设I=∫(上2π 下0) x(sin x)^8dx,令t=2π-x,则
I=∫(上0 下2π)(2π-t)[sin(2π-t)]^8d(2π-t)
=∫(上2π 下0)(2π-t)(sint)^8dt
=2π∫(上2π 下0) (sint)^8dt-I
故
I=π∫(上2π 下0)(sint)^8dt
=4π∫(上π/2 下0)(sint)^8dt
=4π*7/8*5/6*3/4*1/2*π/2
=35π²/64
I=∫(上0 下2π)(2π-t)[sin(2π-t)]^8d(2π-t)
=∫(上2π 下0)(2π-t)(sint)^8dt
=2π∫(上2π 下0) (sint)^8dt-I
故
I=π∫(上2π 下0)(sint)^8dt
=4π∫(上π/2 下0)(sint)^8dt
=4π*7/8*5/6*3/4*1/2*π/2
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