J=定积分-π/2到π/2arctan(e^x)·(sinX)^2dx我看着复习全书上的答案是设x=-t则J=定积分-π/2到π/2arctan(e^-x)·（sinX）^2dx与原题中式子相加,则2J=定积分-π/2到π/2arctan(e^-x）+arctan(e^x)·(sinX)^2dx=π/2

Question

J=定积分-π/2到π/2 arctan(e^x)·(sinX)^2 dx
我看着复习全书上的答案是设x=-t
则J=定积分-π/2到π/2 arctan(e^-x)·（sinX）^2 dx
与原题中式子相加,则
2J=定积分-π/2到π/2 【arctan(e^-x）+arctan(e^x)】·(sinX)^2 dx
=π/2· 2 ·定积分0到π/2 (sinX)^2 dx
我现在不明白的是上式中这个开头π/2是怎么算出来的,应该是由【arctan(e^-x）+arctan(e^x)】计算而来的吧,

Answer 1

arctan(e^-x）+arctan(e^x)=π/2
证明：[arctan(e^-x）+arctan(e^x)]'=0
arctan(e^-x）+arctan(e^x)=常数
令x=0代入即可