已知f(x)＝﹣x－x³,x1,x2,x3∈R且x1＋x2＞0,x2＋x3＞0,x1＋x3＞0.求证：f(x1)+f(x2)+f(x3)＜0

Question

已知f(x)＝﹣x－x³,x1,x2,x3∈R且x1＋x2＞0,x2＋x3＞0,x1＋x3＞0.求证：f(x1)+f(x2)+f(x3)＜0

Answer 1

f(x1)+f(x2)+f(x3)=﹣x1－x1³－x2－x2³－x3－x3³
=-1/2(x1+x2)-1/2(x2+x3)-1/2(x1+x3)-1/2(x1³+x2³)-1/2(x3³+x2³)-1/2(x1³+x3³)
应为 x1＋x2＞0,x2＋x3＞0,x1＋x3＞0.所以 前三项都小于0
讨论后三项
a³+b³=（a+b）*（a²+ab+b²）
应为a²+ab+b²=a²+ab+1/4b²+3/4b²=（a+1/2b）²+3/4b²≥0
应为a+b＞0
所以
a³+b³=（a+b）*（a²+ab+b²）≥0
所以 后三项-1/2(x1³+x2³)≤0
所以 原式＜0
注：主要用到了 立方和公式