[f(x+hx)/f(x)]^(1/h)当h趋于0时的极限为e^(1/x),且f(x)趋于正无穷极限是1,f(x)>0,f(x)在大于0的区间内可导,则f(x)是

Question

[f(x+hx)/f(x)]^(1/h)当h趋于0时的极限为e^(1/x),且f(x)趋于正无穷
极限是1,f(x)>0,f(x)在大于0的区间内可导,则f(x)是

Answer 1

　　由条件,应有
　　　　lim(h→0)[lnf(x+h)-lnf(x)]/h = 1/x,
亦即
　　　　(d/dx)lnf(x) = 1/x,
积分,得
　　　　lnf(x) = -1/x²+C1,
所以,
　　　　f(x) = Ce^(-1/x²),
再由条件 “f(x)趋于正无穷时的极限为 1”可求得 C=1,……