已知集合A={(x,y)|y=-更号下2-x^2},B={(x,y)|y=x+m},若A交B不等于空集求m的取值范围

Question

已知集合A={(x,y)|y=-更号下2-x^2},B={(x,y)|y=x+m},若A交B不等于空集
求m的取值范围

Answer 1

本题用图形的方法非常容易解决.

y=-√(2-x²)

x²+y²=2  (y≤0)

方程表示的是位于x轴及其下方以(0,0)为圆心,√2为半径的半圆.

要A∩B≠Φ ,即直线与半圆有交点.y=x+m为图中L1与L2间斜率恒为1的直线系.

m取最大值时,直线为L1,m取最小值时,直线为L2

令y=0 x<0   x=-√(2-0²)=-√2,直线L1过点(-√2,0)

y-0=x-(-√2)    y=x+√2,令x=0,解得y=√2,此时m=y=√2

直线为L2时,m<0,直线与半圆相切,圆心到直线距离=半径

y=x+m  x-y+m=0,由点到直线距离公式得

|0-0+m|/√[1²+(-1)²]=√2

|m|/√2=√2   |m|=2

m<0   m=-2

综上,得-2≤m≤√2

m的取值范围为[-2,√2].