设E属于R^n,证明函数f（x）=inf（y属于E）|x-y|在R^n内一致连续（其中x、y均为向量）

Question

设E属于R^n,证明函数f（x）=inf（y属于E）|x-y|在R^n内一致连续（其中x、y均为向量）

Answer 1

对任意x,x’属于R^n,若f(x)≥f(x')
f(x)-f(x')=inf|x-y|-inf|x'-y|≤|x-y|-inf|x‘-y|（对任意y,inf|x-y|≤|x-y|）(1)
根据下确界定义,对于任意ε,存在y’属于E使|x’-y‘|-ε/2