如何证明被椭圆截得的直线的线段的中点在同一直线上已知一个椭圆x平方／4+y平方／9＝1，一组平行直线的斜率是1.5（1）这组直线何时与椭圆相交（2）当它们与椭圆相交时，证明这些直

Question

如何证明被椭圆截得的直线的线段的中点在同一直线上
已知一个椭圆x平方／4+y平方／9＝1，一组平行直线的斜率是 1.5
（1）这组直线何时与椭圆相交
（2）当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上

Answer 1

答：
你的题目应该这样说：一组平行线与椭圆相交,每条都在椭圆内截成一条线段,求证：这些线段的中点共线?
这样证明：
设这组平行线形如Ax + By + C = 0,易知这些平行线只是C不同而已.
设椭圆方程是：x²/a² + y²/b² = 1,即：
b²x² + a²y² = a²b²
b²B²x² + a²B²y² = a²b²B²
b²B²x² + a²(Ax + C)² = a²b²B²
b²B²x² + a²A²x² + 2ACa²x + a²C² - a²b²B² = 0
(b²B² + a²A²)x² + 2ACa²x + a²C² - a²b²B² = 0
x1 + x2 = -2ACa²/(a²A² + b²B²)
同理：
y1 + y2 = -2BCb²/(a²A² + b²B²)
设线段中点坐标是(X,Y),则：
x1 + x2 = 2X
y1 + y2 = 2Y
所以：
X = -ACa²/(a²A² + b²B²)
Y = -BCb²/(a²A² + b²B²)
Y/X = Bb²/Aa²
Y = Bb²/Aa² X
Y = (B/A) * (b²/a²) X
中点的轨迹是直线方程且通过原点.与C无关说明这些线段的中点轨迹方程都是一样的.
---------------------------------------
你具体问题中说斜率是1.5,相当于本题中A/B = - 3/2,那B/A = -2/3,b²/a²=9/4
y = -2/3 * 9/4 x
y = -3/2 x
y = -1.5 x
(不要误会哟,1.5完全是巧合,斜率不是相反数的关系,跟椭圆半轴有关哟)
---------------------------------------
最后告诉你,只要把b² 换成-b²,还适用于双曲线.不过要判断(A²a² - B²b² ≠0)
双曲线的情况是：y = -(B/A)*(b²/a²) x
---------------------------------------------