已知A（-2，0），B（2，0），C（m，n）．（1）若m=1，n=3，求△ABC的外接圆的方程；（2）若以线段AB为直径的圆O过点C（异于点A，B），直线x=2交直线AC于点R，线段BR的中点为D，试判断直线CD与

Question

已知A（-2，0），B（2，0），C（m，n）．
（1）若m=1，n=√(3)，求△ABC的外接圆的方程；
（2）若以线段AB为直径的圆O过点C（异于点A，B），直线x=2交直线AC于点R，线段BR的中点为D，试判断直线CD与圆O的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）法1：设所求圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
由题意可得

4−2D+F＝0

4+2D+F＝0

1+3+D+

3

E+F＝0

，解得D=E=0，F=-4，
∴△ABC的外接圆方程为x²+y²-4=0，即x²+y²=4．-----------------（6分）
法2：线段AC的中点为（-(1)/(2)，(3)/(2)），直线AC的斜率为k₁=(3)/(3)，
∴线段AC的中垂线的方程为y-(3)/(2)=-

3

（x+(1)/(2)），
线段AB的中垂线方程为x=0，
∴△ABC的外接圆圆心为（0，0），半径为r=2，
∴△ABC的外接圆方程为x²+y²=4．-----------------（6分）
法3：∵|OC|=

(1−0)2+(

3

−0)2

=2，而|OA|=|OB|=2，
∴△ABC的外接圆是以O为圆心，2为半径的圆，
∴△ABC的外接圆方程为x²+y²=4．-----------------（6分）
法4：直线AC的斜率为k₁=(3)/(3)，直线BC的斜率为k₂=-

3

，
∴k₁•k₂=-1，即AC⊥BC，
∴△ABC的外接圆是以线段AB为直径的圆，
∴△ABC的外接圆方程为x²+y²=4．-----------------（6分）
（2）由题意可知以线段AB为直径的圆的方程为x²+y²=4，设点R的坐标为（2，t），
∵A，C，R三点共线，
∴

AC

∥

AR

，----------------（8分）
而

AC

=（m+2，n），

AR

=（4，t），则4n=t（m+2），
∴t=(4n)/(m+2)，
∴点R的坐标为（2，(4n)/(m+2)），点D的坐标为（2，(2n)/(m+2)），-----------------（10分）
∴直线CD的斜率为k=(n−(2n)/(m+2))/(m−2)=((m+2)n−2n)/(m2−4)=(mn)/(m2−4)，
而m²+n²=4，∴m²-4=-n²，
∴k=(mn)/(−n2)=-(m)/(n)，-----------------（12分）
∴直线CD的方程为y-n=-(m)/(n)（x-m），化简得mx+ny-4=0，
∴圆心O到直线CD的距离d=(4)/(m2+n2)=(4)/(4)=2=r，
所以直线CD与圆O相切．-----------------（14分）