AB为圆的直径,点C为弧AB的中点,P为圆内一点,CP=1,AP=4,BP=根号14,求圆的面积!

Question

AB为圆的直径,点C为弧AB的中点,P为圆内一点,CP=1,AP=4,BP=根号14,求圆的面积!

Answer 1

AB为圆的直径,点C为弧AB的中点,P为圆内一点,CP=1,AP=4,BP=根号14,求圆的面积!
解析：设圆半径为R
过A作AT⊥AB
建立以A为原点,以AB方向为X轴,以AT向上方向为Y轴正方向的平面直角坐标系A-xy
则点坐标A(0,0),B(2R,0),C(R,R)
设P(x,y)
∵PC=1,PA=4,PB=√14,可见满足此要求的点仅有一点
向量AP=(x,y),|向量AP|^2=x^2+y^2=16
向量PB=(2R-x,-y)==> |向量PB|^2=(2R-x)^2+y^2=14==>x^2+y^2+4R^2-4Rx=14
∴2R^2-2Rx=-1 (1)
向量PC=(R-x,R-y)==> |向量PC|^2=(R-x)^2+(R-y)^2=1==>R^2-2Rx+x^2+R^2-2Ry+y^2=1
∴2R^2-2R(x+y)=-15 (2)
(1)代入(2) 得2Ry=14==>Ry=7
∴x=R+1/(2R),y=7/R
R^2+1/(4R^2)+49/R^2=15
4(R^2)^2-60R^2+197=0
∴R^2=(15-2√7)/2（舍）,R^2=(15+2√7)/2
∴圆的面积为π(15+2√7)/2