已知A（x1、y1），B（x2，y2）是直线y=-x+2与双曲线y＝kx（k≠0）的两个不同交点．（1）求k的取值范围；（2）是否存在这样k的值，使得(x1−2)(x2−2)＝x2x1+x1x2？若存在，求出这样的k值；若不存

Question

已知A（x₁、y₁），B（x₂，y₂）是直线y=-x+2与双曲线y＝(k)/(x)（k≠0）的两个不同交点．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在这样k的值，使得(x1−2)(x2−2)＝(x2)/(x1)+(x1)/(x2)？若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵直线y=-x+2与双曲线y=(k)/(x)（k≠0）的两个不同交点，-x+2=(k)/(x)，
即：x²-2x+k=0，
∴△=4-4k>0，
解得：k<1且k≠0；
（2）假设存在k，使(x1-2)(x2-2)=(x2)/(x1)+(x1)/(x2)，
∴x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=(x22+ x12)/(x1x2)=((x1+x2)2-2x1x2)/(x1 x2)，
∵x₁，x₂是方程x²-2x+k=0的两根，
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=k，
∴k-4+4=(4-2k)/(k)，
解得：k=-1±√(5)，
又k<1且k≠0，
∴k=-1-√(5)．
故存在k=-1-√(5)使得(x1-2)(x2-2)=(x2)/(x1)+(x1)/(x2)成立．