在对数函数y=log2x的图象上，有A、B、C三点，它们的横坐标依次为a，a+1，a+2，其中a≥1，求△ABC面积的最大值．

Question

在对数函数y=log₂x的图象上，有A、B、C三点，它们的横坐标依次为a，a+1，a+2，其中a≥1，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

∵横坐标为a，a+1，a+2（a≥1），对应的纵坐标就要逐渐增大
分别过ABC作AA′，BB′，CC′与x轴垂直，垂足分别为A′，B′，C′
三角形ABC，的面积S=SAA′B′B+SBB′C′ C−SAA′C′C
=(log2a+log2(a+1))/(2)+(log2(a+1)−log2(a+2))/(2)−(log2a+log2(a+2))/(2)×2（5分）
=(1)/(2)log2(a(a+2)(a+1)2)/([a(a+2)]2)=(1)/(2)log2((a+1)2)/(a(a+2))
=(1)/(2)log2(a2+2a+1)/(a2+2a)
=(1)/(2)log2(1+(1)/(a2+2a))
∵a≥1
∴a²+2a=（a+1）²-1≥3
∴0＜(1)/(a2+2a)≤(1)/(3)，1＜1+(1)/(a2+2a)≤(4)/(3)
Smax＝(1)/(2)log2(4)/(3)（12分）