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(2420:17:47)证明n3+5n(n∈N*)能被6整除
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(24 20:17:47)
证明n3+5n(n∈N*)能被6整除
证明n3+5n(n∈N*)能被6整除
▼优质解答
答案和解析
1的时候成立
假设n=k的时候成立,n=k+1时
(k+1)^3+5(k+1)-(k^3+5k)=3k^2+3k+1+5=3k(k+1)+6
因为k∈N*,所以k和k+1至少其中一个为偶数,所以2|3k(k+1)
3|3k(k+1) => 6|3k(k+1)
6|6
所以6|3k(k+1)+6
因为k^3+5k能被6整除,所以(k+1)^3+5(k+1)也能被6整除
假设n=k的时候成立,n=k+1时
(k+1)^3+5(k+1)-(k^3+5k)=3k^2+3k+1+5=3k(k+1)+6
因为k∈N*,所以k和k+1至少其中一个为偶数,所以2|3k(k+1)
3|3k(k+1) => 6|3k(k+1)
6|6
所以6|3k(k+1)+6
因为k^3+5k能被6整除,所以(k+1)^3+5(k+1)也能被6整除
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