如图,已知三角形ABC的高AD、BE交与H,三角形ABC、三角形ABH的外接圆分别为圆O和圆O'.求证:圆O与圆O'的半径相等.

Question

如图,已知三角形ABC的高AD、BE交与H,三角形ABC、三角形ABH的外接圆分别为圆O和圆O'.
求证:圆O与圆O'的半径相等.

Answer 1

首先作辅助线：过A作⊙O和⊙O1的直径AP、AQ,连接PB、QB,即可证得：P、B、Q三点共线,又由H是△ABC的垂心,证得D、C、E、H四点共圆,则可证得∠P=∠Q,易得⊙O与⊙O1的半径相等
证明：过A作⊙O和⊙O1的直径AP、AQ,连接PB、QB,则∠ABP=∠ABQ=90°．
故P、B、Q三点共线．
因H是△ABC的垂心,
故D、C、E、H四点共圆,∠AHE=∠C．
而∠AHE=∠Q,∠C=∠P,
故∠P=∠Q,AP=AQ．
因此⊙O与⊙O1的半径相等．