已知sinα+cosβ=1/2,则cosα+sinβ的范围

Question

已知sinα+cosβ=1/2,则cosα+sinβ的范围

Answer 1

∵ sinα+cosβ=1/4
∴(sinα+cosβ)²=1/4
(sin²α)+2sinαcosβ+(cos²β)=1/4……（1）
设cosα+sinβ=y
∴(cosα+sinβ)²=y²
(cos²a)+2sinβcosα+(sin²β)=y²……（2）
（1）+（2）,得
2[sinacosβ+sinβcosα]=y²+1/4-2=y²-7/4
∴y²=2sin(a+β)+7/4
∵-1≤sin(α+β)≤1
∴0≤y²≤15/4
所以(-√15)/2≤y≤(-√15)/2
所以(-√15)/2≤cosα+sinβ≤(-√15)/2