已知△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD′，连结D′E．（1）如图1，当∠BAC=120°，∠DAE=60°时，求证：DE=D′E；（2）如图2，当DE=D′E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关

Question

已知△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD′，连结D′E．

（1）如图1，当∠BAC=120°，∠DAE=60°时，求证：DE=D′E；
（2）如图2，当DE=D′E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．
（3）如图3，在（2）的结论下，当∠BAC=90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△D′EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必说明理由）

Answer 1

（1）证明：∵△ABD绕点A旋转得到△ACD′，
∴AD=AD′，∠CAD′=∠BAD，
∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，
∴∠D′AE=∠CAD′+∠CAE，
=∠BAD+∠CAE，
=∠BAC-∠DAE，
=120°-60°，
=60°，
∴∠DAE=∠D′AE，
在△ADE和△AD′E中，

AD＝AD′

∠DAE＝∠D′AE

AE＝AE

，
∴△ADE≌△AD′E（SAS），
∴DE=D′E；
（2）∠DAE=(1)/(2)∠BAC．
理由如下：在△ADE和△AD′E中，

AD＝AD′

AE＝AE

DE＝D′E

，
∴△ADE≌△AD′E（SSS），
∴∠DAE=∠D′AE，
∴∠BAD+∠CAE=∠CAD′+∠CAE=∠D′AE=∠DAE，
∴∠DAE=(1)/(2)∠BAC；
（3）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=∠ACD′=45°，
∴∠D′CE=45°+45°=90°，
∵△D′EC是等腰直角三角形，
∴D′E=√(2)CD′，
由（2）DE=D′E，
∵△ABD绕点A旋转得到△ACD′，
∴BD=C′D，
∴DE=√(2)BD．